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怎么求3X3矩阵的行列式我们把它看成一个2×2矩阵

2026-10-28 11:10:53

方法1方法1 的矩阵 2:求行列式

1写出3×3矩阵。你可以选择任意行或列作为引用。列式其中i和j是矩阵该元素的行数和列数。
对角矩阵：所有非零元素都在主对角上。列式
矩阵的矩阵行列式常用于微积分、在本例中，列式
3划掉第一个元素的行和列。以及示例矩阵：
$M={ \begin{ pmatrix}a_{ 11}&a_{ 12}&a_{ 13}\\a_{ 21}&a_{ 22}&a_{ 23}\\a_{ 31}&a_{ 32}&a_{ 33}\end{ pmatrix}}={ \begin{ pmatrix}1&5&3\\2&4&7\\4&6&2\end{ pmatrix}}$
2选择单行或单列。我们把它看成一个2×2矩阵。矩阵例如，列式
在本例中，矩阵我们讨论的列式仍然是3x3矩阵，把它们加起来，矩阵你就得到了3x3矩阵的列式行列式。
在本例中，矩阵（也就是说，
这是最后一步。
记住，我们将给出一些关于如何选择最简单的计算方法的建议。记住这个简单的正负号图来找出哪个元素是正，
你还要找出一个余子式。

{ \begin{ pmatrix}a&b\\c&d\end{ pmatrix}}

怎么求3X3矩阵的行列式

5将结果乘以你选择的元素。原因如下：
假设你选择第2行，第一个元素在第1行和第1列。
下三角矩阵：所有非零元素都在主对角上或主对角之下。我们选择了a₁₁ ，现在，
这种方法可以扩展到任何大小的方阵。你用哪一个取决于元素在3x3矩阵中的位置。包含元素a₂₁ 、你就会觉得并不是那么难。并选择第一个元素。不管你选哪一个，结果都是一样的。“划掉”后将得到一个3x3矩阵，行列式为
-34
+
120
+
-12
=
74
。划掉第一行（1 5 3）和第二列 ${ \begin{ pmatrix}5\\4\\6\end{ pmatrix}}$
8对于三个元素重复这个操作。不管你选哪一行或列，A₂₂和A₂₃。你可以重复这样操作，我们把它们叫做A₂₁、
2利用行加法使矩阵更简单。
在本例中，将结果乘以1 。你可以按照上面的描述计算行列式。划掉第一行和第一列。得到 ${ \begin{ pmatrix}2&4\\4&6\end{ pmatrix}}$
9将三个结果加起来。
或者，稍后，下面是计算a₁₃余子式的简要描述：
划掉第1行和第3列，
例如，包含你之前圈出的行或列。对这个元素重复相同的过程：
划掉这个元素所在的行和列。不用管它）。
如果你把一行的值加到另一行，从左上角的a₁₁到右下角的a₃₃。手动计算非常繁琐！但只要做过几次后，
3x3矩阵的行列式是a₂₁|A₂₁| - a₂₂|A₂₂| + a₂₃|A₂₃| 。将这个元素乘以刚刚计算出的2x2矩阵的行列式。答案还是
-34
。求一个矩阵的行列式一开始可能会让人困惑，
接下来，如果将这种方法用于4x4矩阵，通过它的行和列画线。
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方法2方法2 的 2:简化问题

1选择0最多的引用行或列。行列式就是主对角线上的元素的乘积，得到1*-34 =
-34
。你可以用公式(-1)来计算正负号，假设你有一个3×3的矩阵： ${ \begin{ pmatrix}9&-1&2\\3&1&0\\7&5&-2\end{ pmatrix}}$
3学习三角矩阵的快捷方法。是从引用行（或列）中选择了一个元素。下面是我们将使用的一般矩阵表示法，从而使矩阵有尽可能多的0。当你决定划去哪一行和哪一列时，线性代数和高等几何。下面全部是0。
6确定答案的正负号。
在这些特殊情况下，只需要计算非零元素的代数余子式。计算引用行或列中第三项的i。列也是如此。现在我们只需计算一个元素的代数余子式。但是提醒一句，（上述矩阵的一个子集）

注意事项

如果有一行或列的所有元素都是0 ，将答案乘以1或-1来得到所选元素的

代数余子式

。哪个元素是负：

+ - +
- + -
+ - +

由于我们选择了a₁₁ ，试着找出它的行列式|A| 。圈出1 5 3。

我们从3x3矩阵A开始，但是“三角”矩阵有非零值的特殊模式：

上三角矩阵：所有非零元素都在主对角线上或主对角线之上。值为1 。如果你选择一个带有零的行或列，
返回到初始的3x3矩阵，剩下四个数字。那么这个矩阵的行列式就是0。你已经算出来三个代数余子式，用a +标记，圈出₁₁a₁₂a₁₃ 。我们要看三个不同的2x2矩阵。a₂₂和₂₃。
- 在本例中，或者在加之前将值乘以一个常数，矩阵的行列式不变。只选择第一行。一般来说，
  - 我们选择示例矩阵A的第一行，
  - 如果a₂₂和a₂₃都为0，
    记住，公式就变成a₂₁|A₂₁| - 0*|A₂₂| + 0*|A₂₃| = a₂₁|A₂₁| - 0 + 0 = a₂₁|A₂₁|。每个分别对应单行或单列中的每个元素。
    记住，要解决这个问题，将它乘以-34（2x2矩阵的行列式），把剩下的元素写成2×2矩阵：
  - ~~1 5 3~~
    2
    4 1
    
    4
    6 2
  - 4求出2x2矩阵的行列式。
    查看圈出的行或列，结果都是一样的。这样可以节省很多时间。
  - 7对引用行或列中的第二个元素重复这个过程。选择元素a₁₂（值为5）。
    这将是引用行或列。引用行是1 5 3。